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副标题: 大数据时代,数学思维的力量

内容简介

如果你是一个有“数学焦虑症”的人,你可能不会相信有一天你会爱上数学。

原因在于,我们在学校所学的数学知识看上去不过是一堆沉闷的规则、定律和公理,都是前人传下来的,而且是不容置疑的。在《魔鬼数学》中,世界知名数学家乔丹?艾伦伯格告诉我们这样的认识是错误的。数学与我们所做的每一件事都息息相关,可以帮助我们洞见在混沌和嘈杂的表象之下日常生活的隐性结构和秩序。数学是一门告诉我们“如何做才不会犯错”的科学,是经年累月的努力、争论所锤炼出来的。

你应该提前多长时间到达机场?民意调查的结果真的能代表人们的意愿吗?为什么父母都是高个子,孩子的身高却比较矮?用什么策略买彩票才能中大奖?《魔鬼数学》运用数学方法分析和解决了很多的日常生活问题,帮助数学门外汉习得用数学思维思考问题的技能。

作者用数学这条主线穿起了时空,从每时每刻到宇宙空间,中间还穿插了很多人和事物,比如棒球、里根经济学、伏尔泰、意大利文艺复兴时期的绘画、人造语言等。

《魔鬼数学》带领我们踏上了一段精彩绝伦的数学思维之旅,旅行过后,相信你可以成为一个更棒的思考者。作者从历史及最近的理论发展中汲取精华,向我们展示了数学知识的魅力和力量。数学可以让我们更好地思考:它可以磨练我们的直觉,让我们的判断更敏锐,它还可以驯服不确定性,让我们更深入地了解世界的结构和逻辑。

拥有了数学工具,我们就可以把那些我们想当然的事情看得更透彻,

从而做出正确的决策。

作者简介

乔丹?艾伦伯格(Jordan Ellenberg),美国威斯康星大学数学系教授。他在世界范围内发表他的关于数论研究的演讲,并于2013年在世界最大的数学会议——数学联合会议上做主题演讲。他的文章主要发表在《连线》《纽约时报》《华盛顿邮报》《华尔街日报》《波士顿环球报》等媒体上,他还为《石板》杂志写作“Do the Math”专栏文章,十分受欢迎。

目录

引 言 数学知识什么时候能派上用场呢?//IX
第一部分 线性
第1章 要不要学习瑞典模式?//003
“巫术”经济学与拉弗曲线//006
第2章 不是所有的线都是直线//013
穷竭法与圆的面积//013
微积分与牛顿//020
永远无法到达的冰激凌商店//022
第3章 到2048 年,人人都是胖子?//031
学生应该从数学课上学些什么?//036
关于肥胖问题的荒谬研究//039
第4章 触目惊心的数字游戏//043
抛硬币与法国警察的帽子//048
评判暴行的数学方法//054
第5章 比盘子还大的饼状图//057
第二部分 推理
第6章 圣经密码与股市预测//069
选股必涨的巴尔的摩股票经纪人//075
那些古老预言的真相//079
第7章 大西洋鲑鱼不会读心术//083
代数为什么那么难学?//085
推翻零假设//090
并不显著的显著性//096
篮球比赛中真的存在“手热效应”吗? //100
第8章 美丽又神秘的随机性//109
关于素数的猜想//114
素数是不是随机数?//117
第9章 肠卜术与科学研究//121
赢家诅咒与文件柜问题//124
显著性检验是调查员,不是审判员//132
第10章 大数据与精准预测//139
脸谱网能预测出谁会成为恐怖分子吗?//142
心灵感应研究与贝叶斯推理//146
戴帽子的猫与学校里最不讲卫生的人//158
第三部分 期望值
第11章 中彩票大奖与期望值理论//167
期望值并不是我们所期望的价值//170
如何为终身年金保险定价?//171
这不是显而易见的事吗?//172
别玩强力球//172
麻省理工学院学生买彩票的故事//177
布封的硬币、缝衣针与面条问题//183
海洋与炸药//191
数学家与精神病人//191
想办法促使累积奖金向下分配//192
谁是最后的赢家?//195
第12章 效用理论、风险与不确定性 //201
帕斯卡的赌注与无穷多的快乐 //204
圣彼得堡悖论与期望效用理论//209
第13章 祝你下一张彩票中大奖!//219
平行线也可以相交//226
射影几何学与彩票中奖//231
信号与噪声//233
非理性行为为什么会存在?//249
第四部分 回归
第14章 我们为什么无法拒绝平庸?//255
“有望如何如何”与“本垒打大赛的诅咒”//262
霍林特与西克里斯特的论战//265
糠麸对肠道消化真的有帮助吗?//266
第15章 父母高,孩子不一定也高//269
数学的复杂与简单//278
谁偷走了世界名画《蒙娜丽莎》?//280
相关性、《欢乐颂》与数字压缩技术//282
寒冷的城市与炎热的城市//284
相关性与十维空间的探险之旅//288
不存在相关性不代表没有任何关系//297
第16章 因为患了肺癌你才吸烟的吗?//299
错误未必总是错的//305
相貌英俊的男性为什么不友善呢?//308
第五部分 存在
第17章 所谓民意,纯属子虚乌有//315
提高税收还是削减政府开支?//316
死刑是否应该被废除?//320
单身汉如何成为女性心仪的约会对象?//325
澳大利亚选举制度与美国选举制度,孰优孰劣?//331
“疯狂的绵羊”与悖论的较量//334
第18章 一个凭空创造出来的新奇世界//341
形式主义被自相矛盾的阴影笼罩//350
伟大的数学家并不都是天才 //357
政治的逻辑//360
人类的未来//362
结 语 如何做出正确的决策?//365
致 谢//381

试读

数学知识什么时候能派上用场呢?

在地球上某个地方的一间教室里,一位数学老师布置了30道定积分练习题作为学生的周末作业。要做完这些题,肯定需要花费大量时间,因此,一名学生大声地表达了自己的疑惑。

这名学生的兴趣非常广泛,但是她对做数学题几乎没有任何兴趣。她自己也清楚这一点,因为上个周末,她就花了好多时间完成另外30道(其实没有多大区别的)定积分练习题。她看不出做这些题有什么意义,于是与老师进行了交流。交流过程中,这名学生准备提问老师最不愿意回答的问题:“这些知识我什么时候能用上呢?”

这位老师很可能会这样回答:“我知道这些题目非常枯燥,可是你别忘了,你还不知道自己将来会选择什么样的职业。现在,你看不到这些知识与你有什么关系,但是你将来从事的职业有可能非常需要这些知识,所以你应该快速准确地完成这些定积分练习题。”

师生两人都知道这其实是一个谎言,而且学生通常不会对这样的回答感到满意,毕竟,即使有的成年人可能会用到积分、(1–3x+4×2)–2dx、余弦公式或者多项式除法等知识,人数也屈指可数。

这个回答就连老师也不会满意。我对于这一点很有发言权,因为在我多年担任数学老师的时光里,我就为成百上千的大学生布置过很多定积分练习题。

值得庆幸的是,对于这个问题,我们能找到一个更好的答案:

“尽管一些数学课程会要求你完成一道又一道计算题,让你觉得这些机械的计算过程不榨干你的所有耐心与精力就不会罢休,但事实并非如此。学习数学必须计算这些定积分题,就像足球运动员需要接受举重与韧性训练。如果你希望踢好足球(我是指抱着一种认真的态度,达到竞技水平),就必须接受大量枯燥、重复、看似毫无意义的训练。职业足球运动员在比赛时会用到这些训练内容吗?不会的,我们从未在赛场上看到有足球运动员举杠铃或者在交通锥之间穿梭前行。但是,我们肯定会看到他们应用力量、速度、观察力与柔韧性,而要提高这些能力,他们必须常年接受枯燥乏味的训练。可以说,这些训练内容是足球运动的一个组成部分。

“如果你选择足球作为谋生手段或者希望加入校队,你就别无选择,只能利用周末时间,在训练场上接受大量枯燥乏味的训练。当然,如果你觉得自己无法接受这样的训练,你仍然可以踢足球,只不过是和朋友们一起踢,纯粹以娱乐为目的。我们也有可能穿过防守队员的防线完成华丽的传球,或者像职业运动员那样起脚远射得分,并为此激动不已。此外,踢足球还能强健体魄,愉悦心情。与坐在家里观看职业比赛的电视转播相比,效果要好得多。

“数学与足球非常相似。你的就业目标可能与数学没有相关性,这很正常,大多数人的情况都是这样。但是,你仍然可以运用数学知识,甚至你手头正在做的事情有可能就用到了数学知识,只不过你自己不知道。数学与逻辑推理紧密地交织在一起,可以增强我们处理事务的能力。掌握了数学知识,就像戴了一副X射线眼镜一样,我们可以透过现实世界错综复杂的表面现象,看清其本质。多少个世纪以来,由于人们辛勤钻研、反复辩论,数学的各种公式与定理已经得到了千锤百炼,可以帮助我们在处理事务时避免犯错。利用数学这个工具,我们可以更深入、更准确地理解我们这个世界,而且可以取得更有意义的成果。我们需要做的就是找到一位良师或者一本好书,引导我们学习数学中的一些规则和基本方法。现在,我愿意担任这样的指导老师,告诉你如何实现这个目的。”

其实,由于时间关系,我在上课时基本不会这样长篇累牍地解释这个问题。但是在写书时,我可以稍微展开一些。我要告诉你,我们每天考虑的那些问题,包括政治、医药、商业、宗教等方面的问题,都与数学有着不可分割的联系。我希望这个事实有助于你接受我上文中介绍的那个重要观点。同时,了解这个观点还可以帮助你培养更敏锐的洞察力。

不过,如果那名学生非常精明,即使我真的在课堂上苦口婆心地劝导,她仍然会心存疑惑。

“老师,你的话听起来很有道理。”她会说,“但是,太抽象了。你刚才说掌握了数学知识之后,本来有可能做错的事,现在不会出错了。但是,哪些事情会是这样的呢?能不能举一个真实的例子?”

这时候,我会给她讲亚伯拉罕·瓦尔德(Abraham Wald)与失踪的弹孔这个故事。

亚伯拉罕·瓦尔德与失踪的弹孔

同很多的“二战”故事一样,这个故事讲述的也是纳粹将一名犹太人赶出欧洲,最后又为这一行为追悔莫及。1902年,亚伯拉罕·瓦尔德出生于当时的克劳森堡,隶属奥匈帝国。瓦尔德十几岁时,正赶上第一次世界大战爆发,随后,他的家乡更名为克鲁日,隶属罗马尼亚。瓦尔德的祖父是一位拉比,父亲是一位面包师,信奉犹太教。瓦尔德是一位天生的数学家,凭借出众的数学天赋,他被维也纳大学录取。上大学期间,他对集合论与度量空间产生了深厚的兴趣。即使在理论数学中,集合论与度量空间也算得上是极为抽象、晦涩难懂的两门课程。

但是,在瓦尔德于20世纪30年代中叶完成学业时,奥地利的经济正处于一个非常困难的时期,因此外国人根本没有机会在维也纳的大学中任教。不过,奥斯卡·摩根斯特恩(Oskar Morgenstern)给了瓦尔德一份工作,帮他摆脱了困境。摩根斯特恩后来移民美国,并与人合作创立了博弈论。1933年时,摩根斯特恩还是奥地利经济研究院的院长。他聘请瓦尔德做与数学相关的一些零活儿,所付的薪水比较微薄。然而,这份工作却为瓦尔德带来了转机,他进入了考尔斯经济委员会(该经济研究院当时位于科罗拉多州的斯普林斯市)。尽管政治气候越发糟糕,但是瓦尔德并不愿意彻底放弃理论数学的研究。纳粹攻克奥地利,让瓦尔德更加坚定了这一决心。在科罗拉多就职几个月之后,他得到了在哥伦比亚大学担任统计学教授的机会。于是,他再一次收拾行装,搬到了纽约。

从此以后,他被卷入了战争。

在第二次世界大战的大部分时间里,瓦尔德都在哥伦比亚大学的统计研究小组(SRG)中工作。统计研究小组是一个秘密计划的产物,它的任务是组织美国的统计学家为“二战”服务。这个秘密计划与曼哈顿计划(Manhattan Project)[1]有点儿相似,不过所研发的武器不是炸药,而是各种方程式。事实上,统计研究小组的工作地点就在曼哈顿晨边高地西118街401号,距离哥伦比亚大学仅一个街区。如今,这栋建筑是哥伦比亚大学的教工公寓,另外还有一些医生在大楼中办公,但是在1943年,它是“二战”时期高速运行的数学中枢神经。在哥伦比亚大学应用数学小组的办公室里,很多年轻的女士正低着头,利用“马前特”桌面计算器计算最有利于战斗机瞄准具锁定敌机的飞行曲线公式。在另一间办公室里,来自普林斯顿大学的几名研究人员正在研究战略轰炸规程,与其一墙之隔的就是哥伦比亚大学统计研究小组的办公室。

但是,在所有小组中,统计研究小组的权限最大,影响力也最大。他们一方面像一个学术部门一样,从事高强度的开放式智力活动,另一方面他们都清楚自己从事的工作具有极高的风险性。统计研究小组组长艾伦·沃利斯(W. Allen Wallis)回忆说:“我们提出建议后,其他部门通常就会采取某些行动。战斗机飞行员会根据杰克·沃尔福威茨(Jack Wolfowitz)的建议为机枪混装弹药,然后投入战斗。他们有可能胜利返回,也有可能再也回不来。海军按照亚伯·基尔希克(Abe Girshick)的抽样检验计划,为飞机携带的火箭填装燃料。这些火箭爆炸后有可能会摧毁我们的飞机,把我们的飞行员杀死,也有可能命中敌机,干掉敌人。”

数学人才的调用取决于任务的重要程度。用沃利斯的话说,“在组建统计研究小组时,不仅考虑了人数,还考虑了成员的水平,所选调的统计人员都是最杰出的。”在这些成员中,有弗雷德里克·莫斯特勒(Frederick Mosteller),他后来为哈佛大学组建了统计系;还有伦纳德·萨维奇(Leonard Jimmie Savage)[2],他是决策理论的先驱和贝叶斯定理的杰出倡导者。麻省理工学院的数学家、控制论的创始人诺伯特·维纳(Norbert Wiener)也经常参加小组活动。在这个小组中,米尔顿·弗里德曼(Milton Friedman)这位后来的诺贝尔经济学奖得主只能算第四聪明的人。

小组中天赋最高的当属亚伯拉罕·瓦尔德。瓦尔德是艾伦·沃利斯在哥伦比亚大学就读时的老师,在小组中是数学权威。但是在当时,瓦尔德还是一名“敌国侨民”,因此他被禁止阅读他自己完成的机密报告。统计研究小组流传着一个笑话:瓦尔德在用便笺簿写报告时,每写一页,秘书就会把那页纸从他手上拿走。从某些方面看,瓦尔德并不适合待在这个小组里,他的研究兴趣一直偏重于抽象理论,与实际应用相去甚远。但是,他干劲儿十足,渴望在坐标轴上表现自己的聪明才智。在你有了一个模糊不清的概念,想要把它变成明确无误的数学语言时,你肯定希望可以得到瓦尔德的帮助。

于是,问题来了。我们不希望自己的飞机被敌人的战斗机击落,因此我们要为飞机披上装甲。但是,装甲会增加飞机的重量,这样,飞机的机动性就会减弱,还会消耗更多的燃油。防御过度并不可取,但是防御不足又会带来问题。在这两个极端之间,有一个最优方案。军方把一群数学家聚拢在纽约市的一个公寓中,就是想找出这个最优方案。

军方为统计研究小组提供了一些可能用得上的数据。美军飞机在欧洲上空与敌机交火后返回基地时,飞机上会留有弹孔。但是,这些弹孔分布得并不均匀,机身上的弹孔比引擎上的多。

军官们认为,如果把装甲集中装在飞机最需要防护、受攻击概率最高的部位,那么即使减少装甲总量,对飞机的防护作用也不会减弱。因此,他们认为这样的做法可以提高防御效率。但是,这些部位到底需要增加多少装甲呢?他们找到瓦尔德,希望得到这个问题的答案。但是,瓦尔德给出的回答并不是他们预期的答案。

瓦尔德说,需要加装装甲的地方不应该是留有弹孔的部位,而应该是没有弹孔的地方,也就是飞机的引擎。

瓦尔德的独到见解可以概括为一个问题:飞机各部位受到损坏的概率应该是均等的,但是引擎罩上的弹孔却比其余部位少,那些失踪的弹孔在哪儿呢?瓦尔德深信,这些弹孔应该都在那些未能返航的飞机上。胜利返航的飞机引擎上的弹孔比较少,其原因是引擎被击中的飞机未能返航。大量飞机在机身被打得千疮百孔的情况下仍能返回基地,这个事实充分说明机身可以经受住打击(因此无须加装装甲)。如果去医院的病房看看,就会发现腿部受创的病人比胸部中弹的病人多,其原因不在于胸部中弹的人少,而是胸部中弹后难以存活。

数学上经常假设某些变量的值为0,这个方法可以清楚地解释我们讨论的这个问题。在这个问题中,相关的变量就是飞机在引擎被击中后不会坠落的概率。假设这个概率为零,表明只要引擎被击中一次,飞机就会坠落。那么,我们会得到什么样的数据呢?我们会发现,在胜利返航的飞机中,机翼、机身与机头都留有弹孔,但是引擎上却一个弹孔也找不到。对于这个现象,军方有可能得出两种分析结果:要么德军的子弹打中了飞机的各个部位,却没有打到引擎;要么引擎就是飞机的死穴。这两种分析都可以解释这些数据,而第二种更有道理。因此,需要加装装甲的是没有弹孔的那些部位。

美军将瓦尔德的建议迅速付诸实施,我无法准确地说出这条建议到底挽救了多少架美军战机,但是数据统计小组在军方的继任者们精于数据统计,一定很清楚这方面的情况。美国国防部一直认为,打赢战争不能仅靠更勇敢、更自由和受到上帝更多的青睐。如果被击落的飞机比对方少5%,消耗的油料低5%,步兵的给养多5%,而所付出的成本仅为对方的95%,往往就会成为胜利方。这个理念不是战争题材的电影要表现的主题,而是战争的真实写照,其中的每一个环节都要用到数学知识。

瓦尔德拥有的空战知识、对空战的理解都远不及美军军官,但他却能看到军官们无法看到的问题,这是为什么呢?根本原因是瓦尔德在数学研究过程中养成的思维习惯。从事数学研究的人经常会询问:“你的假设是什么?这些假设合理吗?”这样的问题令人厌烦,但有时却富有成效。在这个例子中,军官们在不经意间做出了一个假设:返航飞机是所有飞机的随机样本。如果这个假设真的成立,我们仅依据幸存飞机上的弹孔分布情况就可以得出结论。但是,一旦认识到自己做出了这样的假设,我们立刻就会知道这个假设根本不成立,因为我们没有理由认为,无论飞机的哪个部位被击中,幸存的可能性是一样的。用数学语言来说,飞机幸存的概率与弹孔的位置具有相关性,相关性这个术语我们将在第15章讨论。

瓦尔德的另一个长处在于他对抽象问题研究的钟爱。曾经在哥伦比亚大学师从瓦尔德的沃尔福威茨说,瓦尔德最喜欢钻研的“都是那些极为抽象的问题”,“对于数学他总是津津乐道,但却对数学的推广及特殊应用不感兴趣”。

的确,瓦尔德的性格决定了他不大可能关注应用方面的问题。在他的眼中,飞机与枪炮的具体细节都是花里胡哨的表象,不值得过分关注。他所关心的是,透过这些表象看清搭建这些实体的一个个数学原理与概念。这种方法有时会导致我们对问题的重要特征视而不见,却有助于我们透过纷繁复杂的表象,看到所有问题共有的基本框架。因此,即使在你几乎一无所知的领域,它也会给你带来极有价值的体验。

对于数学家而言,导致弹孔问题的是一种叫作“幸存者偏差”(survivorship bias)的现象。这种现象几乎在所有的环境条件下都存在,一旦我们像瓦尔德那样熟悉它,在我们的眼中它就无所遁形。

以共同基金为例。在判断基金的收益率时,我们都会小心谨慎,唯恐有一丝一毫的错误。年均增长率发生1%的变化,甚至就可以决定该基金到底是有价值的金融资产还是疲软产品。晨星公司大盘混合型基金的投资对象是可以大致决定标准普尔500指数走势的大公司,似乎都是有价值的金融资产。这类基金1995~2004年增长了178.4%,年均增长率为10.8%,这是一个令人满意的增长速度[4]。如果手头有钱,投资这类基金的前景似乎不错,不是吗?

事实并非如此。博学资本管理公司于2006年完成的一项研究,对上述数字进行了更加冷静、客观的分析。我们回过头来,看看晨星公司是如何得到这些数字的。2004年,他们把所有的基金都归为大盘混合型,然后分析过去10年间这些基金的增长情况。

但是,当时还不存在的基金并没有被统计进去。共同基金不会一直存在,有的会蓬勃发展,有的则走向消亡。总体来说,消亡的都是不赚钱的基金。因此,根据10年后仍然存在的共同基金判断10年间共同基金的价值,这样的做法就如同通过计算成功返航飞机上的弹孔数来判断飞行员躲避攻击操作的有效性,都是不合理的。如果我们在每架飞机上找到的弹孔数都不超过一个,这意味着什么呢?这并不表明美军飞行员都是躲避敌军攻击的高手,而说明飞机中弹两次就会着火坠落。

博学资本的研究表明,如果在计算收益率时把那些已经消亡的基金包含在内,总收益率就会降到134.5%,年均收益率就是非常一般的8.9%。《金融评论》(Review of Finance)于2011年针对近5 000只基金进行的一项综合性研究表明,与将已经消亡的基金包括在内的所有基金相比,仍然存在的2 641只基金的收益率要高出20%。幸存者效应的影响力可能令投资者大为吃惊,但是亚伯拉罕·瓦尔德对此已经习以为常了。